www.uroki.net - cценарии школьных праздников, поурочные тематические календарные планы разработки открытых уроков классных часов конспекты лекций по информатике математике физике химии биологии географии для директора и завуча для психолога для классного руководителя музыка песни караоке для проведения Выпускного вечера Последнего Первого звонка 1 сентября Нового года

Главная\Документы\Для учителя математики, алгебры, геометрии

При использовании материалов этого сайта - АКТИВНАЯ ССЫЛКА и размещение баннера -ОБЯЗАТЕЛЬНО!!!

БЕСЕДА по теме: "ТОЧКИ и ПРЯМЫЕ, ЧИСЛА и ПЛОСКОСТЬ"

(диалог Гуманитария и Математика)

Г: ? Ведь совсем простая вещь: точки, прямые, плоскости! Через две точки проходит прямая, через три ? плоскость. Две прямые пересекаются в одной точке, или вовсе не пересекаются ? когда они параллельны. Каждый отрезок прямой имеет положительную длину и состоит из множества точек... Все просто! Зачем городить темный лес из аксиом и постулатов, в котором сам черт ногу сломит? Но наш любезный Математик, конечно, найдет причины для скучной возни! Ведь правда, сударь?

М: ? Конечно, правда! Только зря вы ругаетесь: сами только что наговорили уйму неосторожных слов и едва не заврались!

Г: ? Это где же?

М: ? Да в самом начале! Через любые две разные точки проходит прямая, притом единственная: это факт привычный и недоказуемый, так что он принят за одну из аксиом геометрии Евклида. И не только Евклида: эта аксиома есть во всех возможных геометриях. А вот насчет плоскости, проходящей через три точки ? это не совсем так! Во-первых, ГДЕ лежат эти три точки? Если на прямой, то ни о какой плоскости говорить нельзя: ее СУЩЕСТВОВАНИЕ ни из чего не следует! Его надо постулировать, как дополнительную аксиому.

Если же вы работаете в пространстве (вы ведь это имели в виду?), то через три разные точки проходит либо ОДНА плоскость (если НЕ ВСЕ они лежат на одной прямой), либо МНОГО разных плоскостей. Сколько именно? На этот вопрос тоже невозможно ответить, не вводя дополнительных аксиом. И кстати ? выбрать из этого множества плоскостей одну, самую естественную ? эта операция тоже невыполнима без дополнительных аксиом! Вот через какие пропасти и ловушки вы изволите скакать с беззаботностью козленка! Или котенка, если он вам милей...

Г: ? А вы утверждаете, что геометрия ? нечто вроде минного поля? И ваш Евклид был первым минером?

М: ? Да, так и есть! И во всей науке так: чуть начнешь рассуждать привычным путем о вещах непривычных, как сразу допустишь либо ошибку, либо бессмыслицу. Без четких определений и аксиом надежной науки нет ? ни геометрии, ни физики, ни биологии!

Г: ? Ну, уж это вы загнули! Математика ? вещь умозрительная, а Природа ? она не выдаст!

М: ? Ой, неправда! Выдает, как миленькая! Вот, зоологи веками рассуждали о млекопитающих животных, не давая им определения. И все молча подразумевали: раз млекопитающее ? значит, живородящее! А потом Природа подбросила людям утконоса...

Г: ? Да, это был прокол... Но ведь в физике так не бывает!

М: ? Еще как бывает! И не только среди элементарных частиц, где на каждом углу ? либо "утконос", либо "динозавр". Вспомните споры, которые шли в 17-18 веках вокруг понятия "сила"! Спорили, не вводя строгих определений. А когда ввели ? сразу выяснилось, что сила, импульс, энергия, работа, мощность, действие ? это совсем разные вещи. Для одних есть закон сохранения ? для других нет. Одни измеряются числами ? другие векторами. И так далее... Нет уж: не жалейте трудов и времени на выяснение смысла определений и аксиом! Не поняв ? таких ошибок нагородите, что небу жарко станет. Евклид и Гильберт не зря потрудились над основами геометрии!

Г: ? Ладно, убедили! Но неужели нельзя понять геометрию плоскости, не выучив 10 или 20 зубодробительных аксиом?

М: ? Ну, зачем же столько! Для начала хватит пяти.

Г: ? Это как в арифметике?

М: ? Да, похоже. Там тоже нужны пять аксиом для описания натуральных чисел и действий над ними. Но вспомните: из этих аксиом не следовало ни существование отрицательных чисел, ни правило "Минус, умноженный на Минус, дает Плюс". Хочешь, чтобы уравнение (х+а = в) имело решение при любых (а) и (в) ? вводи дополнительные определения и аксиомы! Так и в геометрии будет. Но для начала хватит пяти аксиом.

Г: ? Ну, давайте их формулировки!

М: ? Извольте! Итак, у нас будут три неопределяемых понятия: точка, прямая, плоскость. И пять аксиом:

А1. На прямой лежат не менее 2 разных точек.

А2. Через любые 2 разные точки проходит единственная прямая.

А3. На плоскости вне данной прямой (а) лежит хотя бы одна точка (Х).

А4. Через точку (Х) на плоскости, лежащую вне данной прямой (а), проходит хотя бы одна прямая (в), не пересекающая (а).

А5. Прямая (в), упомянутая в Аксиоме 5 ? единственная.

Г: ? Лихо! Ведь ваша аксиома А5 ? это знаменитый "пятый постулат" Евклида о параллельных прямых!

М: ? Совершенно верно!

Г: ? А почему вы не дали определение: что такое параллельные прямые?

М: ? Потому, что это не нужно! Две прямые в плоскости НАЗЫВАЮТСЯ параллельными, если они не пересекаются. Существование таких прямых нам гарантируют аксиомы А4 и А5.

Г: ? Пожалуй, так. Но если вам хватило пяти аксиом на всю планиметрию ? может, вы и стереометрию так же просто опишете? Или слабо?

М: ? Нет, не слабо. Обратите внимание: первые ДВЕ аксиомы А1 и А2 описывают свойства ПРЯМОЙ и точек на ней. Добавив к ним еще ТРИ аксиомы, мы получили описание ПЛОСКОСТИ с точками и прямыми на ней. Теперь добавим еще ЧЕТЫРЕ аксиомы ? чтобы получилось описание ПРОСТРАНСТВА. Вот они:

А6. Через любую прямую и любую точку вне ее в пространстве проходит единственная плоскость.

А7. В пространстве вне данной плоскости (М) лежит хотя бы одна точка.

А8. Через точку пространства, лежащую вне данной плоскости (М), проходит хотя бы одна плоскость (К), не пересекающая (М).

А9. Плоскость (К), упомянутая в Аксиоме 8 ? единственная.

Г: ? Да, здесь заметна система. Например, аксиомы А1, А3 и А7 ? они явно говорят об одном и том же, хотя на разных уровнях. То же самое ? с аксиомами А2 и А6, или А4 и А8. Итак, пять аксиом задают нам плоскость, девять аксиом ? пространство. Наверное, можно и дальше шагнуть?

М: ? Конечно, можно! Однако многомерные пространства ? вещь, привычная только профессионалам. А мы с вами далеко не исчерпали всех богатств обычной плоскости.

Г: ? Верно! Например, вы ни слова не сказали о РАССТОЯНИИ между точками, об УГЛАХ между прямыми. Как определить эти вещи?

М: ? Сделать это либо очень просто, либо вовсе невозможно. Все зависит от ответа на простейший вопрос: сколько точек лежат на прямой?

Г: ? А и правда! Из Аксиомы 1 видно только, что их не меньше двух. А может быть ровно две?

М: ? Да, может! Примите это утверждение, как аксиому ? и у вас получится полная модель геометрии. Сообразите-ка: сколько при этом будет точек на плоскости? И сколько на ней будет разных прямых?

Г: ? Ой-ей-ей!.. Ну, две-то параллельные прямые всегда есть. А третьей, пожалуй, нет: иначе на любой прямой, пересекающей три параллельные прямые, нашлось бы 3 разных точки...

М: ? Верно! Продолжайте рассуждать в том же духе!

Г: ? Легко сказать! Итак, две параллельные прямые покрывают всю плоскость! И на каждой ? по две точки... Всего 4 разных точки на плоскости?

М: ? Так и есть! А сколько прямых проходят через эти точки?

Г: ? Ясно, что не больше 6: по одной на каждую пару точек! И, пожалуй, не меньше: ведь через любую пару точек можно провести прямую...

М: ? Именно так! 4 точки и 6 прямых между ними. Не видали ли вы такую фигуру где-нибудь раньше?

Г: ? Похоже на тетраэдр...

М: ? Он самый! Кстати, он подсказывает нам, каковы РАССТОЯНИЯ между точками и прямыми. Можно считать каждое ненулевое расстояние равным 1. Это корректно ? то есть, согласуется с неравенством треугольника. Но в такой ситуации невозможно определить ОТРЕЗОК прямой, и не имеет смысла выражение "одна точка лежит МЕЖДУ двумя другими".

Г: ? Ну конечно! Если на всей прямой ? только две разные точки! Но зачем нужны такая нелепая прямая и плоскость?

М: ? Затем, что они допускаются нашими аксиомами! Приняв тезис, что на каждой прямой лежат ровно 2 точки, мы нечаянно построили евклидову плоскость ? только над полем вычетов F(2), в котором 1+1 = 0. Если эта картина нас не устраивает ? можно заполнить прямую иным числовым полем. Но это должно быть именно ПОЛЕ ? множество чисел, замкнутое относительно всех арифметических действий. Число разных элементов в поле может быть КОНЕЧНЫМ: тогда оно равно (р..), где (р) ? простое число. Если же мы готовы иметь дело с БЕСКОНЕЧНЫМ множеством разных чисел, то проще всего взять поле РАЦИОНАЛЬНЫХ чисел (Q).

Г: ? Значит, с самого начала в аксиоматике Евклида была дыра: он не уточнил, из КАКИХ (или из СКОЛЬКИХ) точек состоит прямая в его геометрии!

М: ? Ну конечно! Но не стоит обижаться на Евклида: он не знал, что такое "числовая прямая" или что такое "поле". Для построения геометрии (или другой науки) нужны ОПРЕДЕЛЕНИЯ, АКСИОМЫ и ПРАВИЛА ВЫВОДА новых утверждений из уже известных. Эти правила сформулировал Аристотель ? незадолго до Евклида. Сам Евклид удачно справился с выбором АКСИОМ своей науки. Но набрать необходимое множество ОПРЕДЕЛЕНИЙ он не сумел. Эту работу продолжил Архимед ? но довел до конца только Кантор, в конце 19 века. После этого Гильберту осталось все соединить, подогнать и отшлифовать ? что он и сделал к 1900 году.

Г: ? Значит, фундамент геометрии состоит из аксиом Евклида ? и еще из аксиом числового поля, заполняющего прямую. Верно я вас понял?

М: ? Верно!

Г: ? Так давайте перечислим все необходимые аксиомы числового поля! Не будем тратить время на арифметические действия: о них мы достаточно беседовали, знакомясь с натуральными числами. И оставим в стороне ваши дикообразные конечные поля; хватит с нас привычных рациональных чисел!

М: ? Тут вы опять ошиблись: рациональных чисел нам не хватит! Это заметил еще Пифагор ? к своему великому неудовольствию!

Г: ? Ах, вот вы о чем... Не может быть полноценной геометрия без равнобедренного прямоугольного треугольника. Но в таком треугольнике длина гипотенузы не соизмерима с длиною катета. Оттого нужны еще иррациональные числа!

М: ? Совершенно верно! Поэтому мы займемся теми аксиомами, которые включают иррациональные числа в зоопарк рациональных чисел. Их нам понадобятся всего ДВЕ.

Г: ? Это скромно! Вместе с пятью аксиомами о точках и прямых ? для описания плоскости довольно семи аксиом... Это можно пережить! Итак, давайте ваши аксиомы!

М: ? Не мои, конечно. Первую из них придумал Архимед, а вторую ? Кантор. Вот их формулировки:

АЧ1. Если (а<в) ? два разных числа, то найдется натуральное число (к) такое, что (к*а>в).

АЧ2. Если <а(n); в(n)> ? последовательность вложенных отрезков, длины которых стремятся к 0, то существует единственное число (х), общее для всех этих отрезков.

Г: Лихо! Первая аксиома кажется лишней ? зато вторая включает столько новых понятий, что в глазах рябит! Вы можете коротко объяснить: какая последовательность ? вложенная, и во что она вложена? И какие длины стремятся к 0?

М: Конечно, могу! Последовательность фигур называется ВЛОЖЕННОЙ, если в ней каждая последующая фигура лежит внутри предыдущей. Последовательность чисел <х(n)> стремится к 0, если для любого положительного числа (е>0) найдется такой номер (к), что х(n)<е, если (n>к). Впрочем, в длины вложенных отрезков образуют МОНОТОННУЮ последовательность. Поэтому нам достаточно более простого условия: х(к)<е, для некоторого (одного!) номера (к).

Кстати, обратите внимание: в формулировках обеих аксиом о числах впервые встречается знак НЕРАВЕНСТВА: (<) или (>). Этого выражения не было в аксиомах ПРОИЗВОЛЬНОГО поля. Но среди аксиом поля рациональных чисел (Q) и всех его возможных расширений такое выражение есть, потому что всякое рациональное число (а) имеет НОРМУ (или "длину") ? /а/.

Г: ? Ну, это всем известно! Длина (или модуль) положительного числа равна ему самому, а длина отрицательного числа равна "минус ему"!

М: ? Можно так определить норму числа, а можно совсем иначе ? используя десятичную (или двоичную) запись рационального числа. Например, можно положить /а/= 2..., где (к) ? номер первого разряда двоичной записи числа (а), в котором стоит ненулевая цифра. Проверьте: чему равна в этом случае норма числа 2?

Г: ? Ясно, чему: 1/2. Норма числа 4 равна 1/4 ? и так далее. Но зачем нужна такая нелепая норма хороших рациональных чисел?

М: ? Я вам уже отвечал на подобный вопрос: затем, что она допускается аксиомами поля и нормы! "Дикообразная" норма, которую я сейчас определил, удовлетворяет неравенству треугольника ? но не удовлетворяет аксиоме Архимеда, которая вам показалась "лишней". Лучше относиться с уважением к тому, что вас спасает от ошибок!

Г: ? Ладно, не обижайтесь! Кстати, как насчет аксиомы Кантора: ей ваша странная норма удовлетворяет?

М: ? Представьте, да! Оттого ее считают законной в теории чисел и нередко заполняют с ее помощью "щели" в поле рациональных чисел (Q). Получаются "2-адические" числа со множеством диковинных свойств. Если геометрам позволено увлекаться геометрией не только "по Евклиду", но также "по Риману" и "по Лобачевскому" ? то алгебраистам можно увлекаться числами "по Евклиду", а можно и "по Гензелю"...

Г: ? Спасибо за такое разрешение! И позвольте мне им НЕ воспользоваться! Мне ясно одно: в геометрической прямой не должно быть "щелей", а во множестве рациональных чисел они есть. Ведь так?

М: ? Именно так! Например, корень квадратный из 2 не может быть рациональным числом. Это легко доказать, используя единственность разложения целых чисел на простые множители. Помните этот факт?

Г: ? Да, помню! Это мы когда-то доказывали...

М: ? А если так, то в поле рациональных чисел появляется щель. Точнее ? система вложенных отрезков <а(n), в(n)>, левые концы которых ? десятичные приближения корня из двух с недостатком (вплоть до n-го знака), а правые концы ? такие же приближения с избытком. Длины этих отрезков (равные 10...) стремятся к нулю ? но общей точки у них в поле (Q) нет. Чтобы "законопатить" эту щель, Кантор изобрел ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ числа.

Г: ? Как же он их определил?

М: ? Так же, как мы с вами сейчас это сделали! Действительным числом Кантор назвал ЛЮБУЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКОВ <а(n), в(n)>, где числа а(n) и в(n) имеют конечную десятичную запись и различаются на ОДНУ единицу ПОСЛЕДНЕГО разряда их записи. Вот вам пример:

<3; 4>

<3,1; 3,2>

<3,14; 3,15>

<3,141; 3,142>

<3,1415; 3,1416>

Узнаете старого знакомого?

Г: ? Конечно, узнаю! Это десятичные приближения числа "Пи". Кстати, оно вправду иррациональное? Это доказанный факт ? или только гипотеза?

М: ? Успокойтесь! Это факт доказанный, хотя первое его доказательство появилось лишь 250 лет назад ? во времена Эйлера, за сто лет до Кантора.

Г: ? И то ладно! Да, определение действительных чисел "по Кантору" понятно ? потому что оно наглядно. Зато, наверное, возникают арифметические трудности... Как, например, определить СУММУ (П + ...2)?

М: ? Верно: это определение требует некоторых усилий. Надо взять две последоватеольности вложенных отрезков, которые изображают числа (П) и (...2) и сложить между собой отдельно левые их концы ? и отдельно правые концы. Мы получим новую последовательность вложенных отрезков ? и без особого труда докажем, что их длины стремятся к нулю.

Точно так же определяется ПРОИЗВЕДЕНИЕ чисел (П) и (...2) ? но в этом случае труднее проверить, что длины новой последовательности отрезков стремятся к нулю. Еще труднее проверить этот факт для последовательностей отрезков, которые возникают в доказательстве АССОЦИАТИВНОСТИ или КОММУТАТИВНОСТИ арифметических действий с действительными числами. Но все эти трудности преодолимы, и не стоит вам в них углубляться!

Г: ? Соврешенно с этим согласен! Будем считать, что арифметические трудности позади. и поле действительных чисел мы изготовили. Что дальше?

М: ? Теперь, заполнив ПРЯМУЮ числами, мы можем, наконец, заполнить ПЛОСКОСТЬ ПАРАМИ чисел ? так, как это сделал Декарт 350 лет назад.

Г: ? Ну, это понятно, наглядно и не ново! Но я возвращаюсь к прежнему вопросу: как определить РАССОЯНИЕ между точками на плоскости? И как определить УГОЛ между векторами?

М: ? С расстоянием теперь все просто ? благо, есть теорема Пифагора, а из любого положительного числа можно извлечь квадратный корень. РАССТОЯНИЕМ между точками (а) и (в) мы называем ДЛИНУ ВЕКТОРА, ведущего из (а) в (в). ДЛИНОЮ вектора с координатами (х, у) мы называем корень квадратный из суммы квадратов его координат. А вот для определения УГЛА между векторами приходится использовать функцию КОСИНУС.

Г: ? Вот это сюрприз!

М: ? Ничего особенного! Как только геометры выяснили, что квадрат длины вектора с координатами (а,в) можно записать формулой а..+в.., алгебраисты стали искать столь же простое и симметричное выражение для угла между векторами. Надо, чтобы это выражение было равно 1, когда векторы совпадают, и 0, когда они ортогональны. Поискали ? и нашли такое выражение. Для векторов с координатами (а,в) и (с,d) оно равно дроби

(ас+вd)/..(а..+в..)*(с..+d..). (Ъ) Проще не бывает!

Г: ? Ну, если ЭТО называется "просто"... Хотя, не так страшен черт! В знаменателе стоят длины обоих векторов. Значит, для векторов длины 1 ваша формула зависит только от УГЛА между ними! Но почему эта формула равна именно КОСИНУСУ интересующего нас угла?

М: Это легко проверить. Если в качестве первого вектора взять один из БАЗИСНЫХ векторов ? с координатами (0,1) или (1,0) ? то видно, что значение нашей формулы равно ПРОЕКЦИИ второго вектора на первый вектор. Но КОСИНУС угла между векторами равен этой же проекции!

Г: ? Это я помню! Но что делать, если первый вектор из нашей пары ? не базисный, а произвольный?

М: ? Тут есть хитрый трюк с простым геометрическим смыслом. Можно проверить расчетом, что значение формулы (Ъ) НЕ МЕНЯЕТСЯ, если ОБА вектора (а,в) и (с,d) повернуть на одинаковый угол. Оттого все, что верно в случае, когда один из векторов ? базисный, верно для любой пары векторов!

Г: ? Хитро закручено! Но поверить можно... А как измерить угол между векторами в пространстве?

М: ? Точно так же ? по той же формуле! Только вместо ДВУХ слагаемых в числителе и в знаменателе появятся ТРИ: (aв+cd+ef), и аналогично под знаком каждого корня. Так уж удачно выбрал Декарт формулу скалярного произведения двух векторов!

Г: ? Ах, это все Декатр придумал! Так бы сразу и сказали!

М: ? Ну, кто-то должен был первый облечь "аксиомную" геометрию Евклида в новое платье из чисел, кординат и векторов. Декарт первый взялся за это дело ? и преуспел, котя не любил длинных расчетов.

Г: ? Какое совпадение!... Кстати, а НЕЕВКЛИДОВЫ геометрии: они переводятся на язык алгебры?

М: ? Ну конечно! Каждую из "экзотических" плоскостей ? ту, что от Лобачевского, и ту, что от Римана ? можно изобразить в евклидовом пространстве, как хитро изогнутую поверхность. Но можно их изобразить и на обычной плоскости ? если задать расстояние между точками по иной формуле, чем привычная формула Пифагора.

Г: ? Это интересно! Ну-ка, нарисуйте на евклидовой плоскости плоскость Лобачевского! Дайте простым людям полюбоваться на то диво, которое сам автор умел описать только через аксиомы!

М: ? Нет ничего проще! Можно и с формулами не возиться. Вообразите КРУГ (без граничных точек): назовем в нем "прямой" любой ДИАМЕТР ? либо такую ДУГУ ОКРУЖНОСТИ, которая упирается обоими концами в край круга под ПРЯМЫМ углом.

Г: ? И это все?

М: ? Да, все! Проверьте сами на чертеже: много ли "прямых", не пересекающих данную "прямую", проходят через данную точку вне этой "прямой"?

Г: ? Пожалуй, таких "прямых" много! Ведь можно слегка ПОШЕВЕЛИТЬ любую "прямую" (сиречь, окружность) ? так, что она пройдет через ту же точку, но в другом направлении, мало отличающемся от исходного. Если первая окружность не пересекала исходную "прямую", то и пошевеленная окружность ее не пересечет!

М: ? Совершенно верно! Вот вам и модель планиметрии Лобачевского! А теперь перейдем к планиметрии Римана.

Г: ? Вы и ее на евклидовой плоскости нарисуете?

М: ? Нет, ее проще увидеть в пространстве. Вообразите СФЕРУ: назовем на ней ПРЯМОЙ любую ОКРУЖНОСТЬ наибольшего радиуса!

Г: ? Ну, вообразил я это ? и что дальше?

М: ? Проверьте: верно ли, что любые две "прямые" пересекаются ? так что ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ "прямых" вовсе нет?

Г: ? Это ясно: любые два меридиана пересекаются по концам одного из диаметров сферы. Но таких концов ДВА ? а ведь "прямые" должны пересекаться в ОДНОЙ точке!

М: ? Именно так! Поэтому модель плоскости Римана, которую я вам предложил ? не окончательная. Для полного совершенства нужно каждую точку сферы "склеить" с противоположной ее точкой. То что получится, геометры называют ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТЬЮ. Она же ? плоскость Римана, где нет параллельных прямых, а сумма углов треугольника БОЛЬШЕ 180 градусов. Хотите увидеть пример?

Г: ? Конечно, хочу!

М: ? Вообразите равносторонний треугольник, составленный из четверти экватора и двух половинок меридианов ? тех, что проведены к северному полюсу из концов четверти экватора. Каковы углы в этом треугольнике?

Г: ? Все три угла ? прямые!

М: ? Вот вам одно из свойств плоскости Римана. Но у нее есть свойства и похлеще: например, в ней лежит лист Мебиуса!

Г: ? Эта странная крученая ленточка с одной стороной?

М: ? Она самая! В евклидову плоскость ее вложить нельзя, в плоскость Лобачевского ? тоже, а в Риманову плоскость ? можно. Более того: окрестность ВСЯКОЙ прямой на плоскости Римана является листом Мебиуса!

Г: ? А что вы скажете о КРАЕ листа Мебиуса? Он ведь ? тоже окружность, как и средняя линия этого листа!

М: ? Верно! Но окрестность окружности-КРАЯ ? НЕ лист Мебиуса, так что ее нельзя считать ПРЯМОЙ линией, и нельзя задать ЛИНЕЙНЫМ уравнением! Она ? ОБЫЧНАЯ окружность, которая задается КВАДРАТНЫМ уравнением: X..+Y..= Z..

Г: ? Да, тяжела ты, Риманова плоскость! И не легче от того, что на ней можно ввести аналитическую геометрию...

БЕСЕДА по теме: "ТОЧКИ и ПРЯМЫЕ, ЧИСЛА и ПЛОСКОСТЬ"

Понравилось? Отблагодарите, пожалуйста, нас! Для Вас это бесплатно, а нам - большая помощь! Добавьте наш сайт в свою социальную сеть:

 
Rambler's Top100
Copyright © 2005-2016 ИП"Уроки.нет" www.uroki.net
Некоторые файлы (разработки уроков, сценарии, поурочные планы) и информация, находящиеся на данном сайте, были найдены в сети ИНТЕРНЕТ, как свободно распространяемые, присланы пользователями сайта или найдены в альтернативных источниках, также использованы собственные материалы. Автор сайта не претендует на авторство ВСЕХ материалов. Если Вы являетесь правообладателем сценария, разработки урока, классного часа или другой информации, и условия на которых она представлена на данном ресурсе, не соответствуют действительности, просьба немедленно сообщить с целью устранения правонарушения по адресу : . Карта сайта - www.uroki.net При использовании материалов сайта - размещение баннера и активной ссылки -ОБЯЗАТЕЛЬНО!!!